Piscinas e tanques em edifícios altos: qual o efeito de acelerações horizontais?

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Mesmo com o aumento de casos de abalos sísmicos e fortes ventos no Brasil, a maioria das piscinas em edifícios altos são construídas sem considerar os efeitos do vento ou sismos. Por isso, falaremos hoje sobre a análise do fenômeno do sloshing em piscinas e tanques de água em edifícios altos, com diferentes modelos e recomendações sobre como usar programas de análise estrutural para considerar a interação fluido-estrutura.

No artigo Edifícios altos: 10 Desafios no dimensionamento estrutural, vimos que o sloshing é o fenômeno de vibração de um líquido, causado pelo movimento da estrutura. Para que o fenômeno ocorra, é preciso que o líquido tenha uma superfície livre, onde a dinâmica do líquido possa interagir com o container, alterando significativamente a resposta dinâmica do sistema.
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O sloshing e a sobreposição do grande volume de água podem levar a danos adicionais, pois o grande movimento de líquido durante o sloshing, pode resultar em tensões de alto impacto nas paredes das piscinas e tanques, e em casos extremos, pode afetar negativamente a estabilidade das estruturas de apoio, como visto na figura 1.

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Veja o vídeo “Efeito de sloshing em piscinas durante um sismo”:


O movimento no reservatório ou piscina, pode ser causado principalmente, por duas fontes de excitação:
• Sismo ou vento: Onde a base do reservatório é submetida a movimentos ou acelerações do solo no caso do sismo, ou causadas pelas forças laterais de vento.
• Transporte: Comum nos casos de barcos e caminhões cisterna, aeronaves, espaçonaves, etc.

Dentre os principais problemas associados ao sloshing, podemos citar:

  • Superfícies úmidas
  • Derramamento de líquido, como no exemplo do edifício Millenium Palace
  • Risco de prejuízo para as pessoas nas piscinas ou para passageiros e tripulação no caso de veículos, barcos e aviões que transportam líquidos.
  • Desconforto, tontura e vertigens.
  • Cargas estruturais sobre as paredes da piscina, devido a impactos das ondas
  • A construção de piscinas pode influenciar na resposta dinâmica da estrutura

Modelos de cálculo

Um fluído como a água é considerado incompressível, irrotacional e não viscoso, o que permite considerar um fluxo baseado na teoria do potencial, válido para movimentos do fluido cuja onda não rompe. A tensão superficial do líquido nesses casos, é desprezada.
O problema básico envolve a avaliação de:

  • Distribuição da pressão hidrodinâmica, forças e momentos;
  • Frequências naturais da superfície livre do líquido;
  • As pressões hidrodinâmicas têm dois componentes:

Impulsiva: diretamente proporcional à aceleração do reservatório, causada pela parte do fluido movendo-se com a mesma velocidade do reservatório
Convectiva: representa o “slosh” ou movimento da superfície livre do líquido;

Modelo de massas concentradas

Devido ao movimento do edifício causado pelos efeitos do vento ou sismo, a parede do tanque e o líquido se aceleram. O líquido na parte inferior do tanque se comporta como uma massa rigidamente presa à parede do tanque. Essa massa é denominada massa líquida impulsiva (mi), que acelera junto com a parede e exerce pressão hidrodinâmica impulsiva na parede e na base do tanque.
A massa líquida na região superior é denominada como massa líquida convectiva (mc), e exerce pressão hidrodinâmica convectiva na parede e base do tanque. Assim, a massa líquida total é dividida em duas partes: massa impulsiva e massa convectiva.
Um modelo simples de duas massas para o análise de reservatórios de água elevados foi proposto por Housner (1963). Esse é o modelo comumente utilizado na maioria das normas internacionais.

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Imagem 2: Distribuição das pressões hidrodinâmicas impulsivas e convectivas nas paredes e o fundo.

A massa Mi está ligada em uma altura hi, de modo que a força horizontal exercida por ela é colinear com a força resultante exercida pela água equivalente. O movimento das paredes do tanque excita a água em oscilações que, por sua vez, exercem uma força oscilante sobre o tanque.
Esta força oscilante é a mesma que seria exercida por uma massa Mc, que pode oscilar horizontalmente contra uma mola, como mostrado na figura 3. A massa Mc corresponde ao modo fundamental de oscilação da água, que é o modo mais importante para a maioria dos problemas práticos.
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Imagem 3: Sistema dinâmico equivalente de um reservatório.

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As alturas hi e hc se determinam sobre a base das forças dinâmicas de fluido, exercidas somente sobre as paredes do tanque e não no fundo. Devemos utilizar os seguintes valores para os tanques cilíndricos e retangulares: α = 0, β = 1.

A oscilação máxima do fluido está relacionada com a oscilação da massa Mc, da seguinte forma: Se Mc oscila com deslocamento x = A1 sen(ω t), a parte superior da onda contra a parede do tanque vai oscilar para cima e para baixo com deslocamento y = d sin ω t .

Se esta oscilação máxima da água d tem um valor tal que a soma d + h ultrapassa a altura da parede, o líquido sairá do reservatório como aconteceu no Millenium Palace em Balneário Camboriú.
As equações acima geram bons resultados para amplitudes de vibração d < 0,2 L e d < 0,2 h, embora nas maiores amplitudes, certa quantidade de não linearidade é observada nas oscilações.
O modelo de duas massas concentradas tem como inconveniente só permitir a análise do modo fundamental de vibração. Além disso, os vínculos das massas com as paredes transmitem esforços concentrados que não são reais, pelo qual é possível usar um modelo onde a massa convectiva é discretizada e distribuída na altura da parede, conforme visto na figura 4.
Isso permite capturar a contribuição dos modos de vibração superiores, e o efeito de carga concentrada nas paredes é reduzido.

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Imagem 4: Modelo de massas convectivas distribuídas.

É importante entender que a água não vibra da mesma forma que a estrutura. Existe uma discrepância entre as fases das vibrações, que tem como consequência que os deslocamentos laterais da estrutura sejam geralmente menores se considerarmos o efeito da água, embora as pressões hidrodinâmicas sejam maiores que as hidrostáticas. Este fenômeno é utilizado pelos engenheiros para construir dissipadores ou amortecedoras de energia, que serão objeto de análise no nosso próximo post.

Modelos numéricos

As soluções como as mostradas anteriormente, só podem ser obtidas para casos especiais de geometrias de reservatórios simples, com fundo plano, etc. Na prática, podem existir formas geométricas mais complexas e não lineares, que complicam muito a solução.
Devido a complexidade do fenômeno, a única maneira de tratar com geometrias e forças de excitação complicadas é o modelo numérico. O objetivo continua sendo determinar a distribuição de pressões hidrodinâmicas, a resultante de forças e momentos e o deslocamento da superfície livre do líquido.

Na solução numérica podem surgir várias dificuldades, sobretudo se existirem fontes de não linearidade. Nestes casos, as técnicas devem ser robustas, e a solução pode demandar grande esforço e recursos computacionais. A análise considerando a interação fluido estrutura fica mais complexa, pois a abordagem numérica usada para a estrutura pode ser diferente da usada para o fluido. Entre os métodos mais usados estão o método de diferenças finitas e o método de elementos finitos.

Método de diferenças finitas

Neste método se discretiza a equação diferencial que governa o movimento do líquido, utilizando uma malha com espaçamento uniforme. As derivadas parciais são expressadas mediante diferenças finitas, o que dá lugar a um sistema de equações lineares ou não lineares (ver referência 2) dependendo do tipo de problema tratado e das considerações de análise.
O método tem a desvantagem de exigir malhas regulares, o que dificulta a análise de reservatórios com formas geométricas mais complexas.
Em termos de um potencial de velocidades relativas em coordenadas cartesianas, o comportamento dinâmico do problema para um sistema de referência não inercial, ϕ(x,z), está dado pela equação de Laplace, válida no domínio do líquido, Ω.
∇2ϕ = 0 em Ω
Nas paredes do tanque:
∂ϕ/∂x = 0 em x = ±a
No fundo:
∂ϕ/∂z = 0 em z = 0

Imagem 5: Definição das dimensões dos modelos de cálculo de tanque retangular e cilíndrico.

A condição cinemática da superfície livre do líquido é:
∂h/∂t +∂h/∂x(∂ϕ/∂x)-∂ϕ/∂z = 0 em z = h
Para a condição dinâmica, que se obtém ao aplicar a equação de Bernoulli na superfície livre do líquido:
∂ϕ/∂t + 1/2 (∂ϕ/ ∂x)2+ 1/2 (∂ϕ/ ∂z)2 + ϕ + gh – gH + xax(t) = 0 em z = h
Para tanques cilíndricos, as equações podem-se expressar em coordenadas cilíndricas.
Imagem 6: Discretização mediante diferenças finitas de reservatório retangular

Imagem 7: Discretização mediante diferenças finitas de reservatório cilíndrico

Método de elementos finitos

O método é uma das ferramentas mais potentes para a análise do fenômeno na atualidade, é muito geral e permite tratar com reservatórios de qualquer forma geométrica e com problemas da não linearidade.

No método, o domínio é discretizado em sub regiões ou volumes finitos não intersecantes entre si. Estas regiões são chamadas de elementos finitos e ficam ligadas entre si através dos nós.
Hoje, vários programas de análise estrutural já contam com elementos finitos especiais para a modelação do líquido. Uma forma de modelar a água em programas que não contam com estes elementos, é usando elementos sólidos declarados como materiais isotrópicos.
No programa SAP2000, por exemplo, podemos usar gap links para conectar a água com a estrutura. O vínculo água-parede não deve permitir trações nem deslocamentos horizontais, mas sim verticais.
O fluido pode ser modelado mediante elementos sólidos de um material com módulo de cortante pequeno, se comparado com o bulk modulus. Nesses casos, o coeficiente de Poisson é aproximadamente 0.5. É recomendado usar para o modelo da agua as seguintes propriedades:
Módulo de Young = 6.205 MPa (0.9 ksi)
Coeficiente de Poisson = 0.4995
Módulo de cortante = 2.068 MPa(0.3 ksi)
Módulo volumétrico (Bulk Modulus) = 2068.43 MPa (300 ksi)
Peso volumétrico = 10 kN/m^3 (0.036 lb/in^3)

Imagem 8: Modelação de efeito de sloshing em tanque cilíndrico mediante o método de elementos finitos. Análise dos modos de vibração do líquido.

No Eberick um modelo simples de massas concentradas como o apresentado na fig. 9, ligado mediante molas com as paredes do reservatório resulta igualmente efetivo para modelar a interação fluido – estrutura.
Imagem 9: Modelos de elementos finitos e de massas concentradas para a simulação da água em um análise de interação fluido – estrutura.

No artigo de hoje, vimos a importância da análise do fenômeno do sloshing em piscinas e tanques de água em edifícios altos, além de dicas sobre modelação da interação fluido estrutura. Se você ficou com alguma dúvida ou tem considerações, deixe seu comentário, é muito importante para nós.

No próximo artigo abordaremos métodos de controle dos deslocamentos e acelerações horizontais, sistemas para conseguir uma rigidez lateral adequada em função da altura, amortecedores e dissipadores de energia e como fazer a modelação estrutural destes elementos utilizando os softwares disponíveis no mercado.
Então, se você tem interesse em saber como reduzir os efeitos do vento em edifícios altos não pode perder a próxima postagem. Siga nossas redes sociais e fique por dentro dos próximos posts! 

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